4. Сведения по трехзначной логике.

      Математическая логика является наряду с математикой теоретическим фундаментом кибернетики (науки о закономерностях управления сложными процессами и системами в технике и природе). Системы автоматики и электронно-вычислительной техники разрабатываются на основе алгебры логики, для двоичных систем это – булева алгебра. В свою очередь алгебра логики развивается под влиянием задач, встающих в областях, где находит применение алгебра логики. Направление современного развития алгебры логики – это разработка и построение алгебр неклассических логик.

      Много внимания сейчас уделяется исследованиям в области многозначных логик, в которых высказываниям приписывается любое конечное (3 и больше) или бесконечное множество значений истинности. Первой системой многозначной логики была трехзначная логика высказываний, разработанная польским логиком Я. Лукасевичем в 1920 г. В качестве третьего значения истинности было введено значение, выражаемое словами “возможно”, “нейтрально”. В трехзначных системах Гейтинга и Рейхенбаха добавлялось третье значение истинности – “неопределенность”. Позднее были разработаны многозначные логики, проблемы развития которых и вопросы их применения в науке и технике разрабатывались в трудах Э. Поста, Б. Россера, А. Туркетта, С.Яблонского, Д. Бочвара, Д. Неймана, Г. Рейхенбаха, В. Шестакова, Д. Вебба, А.Н. Колмогорова и других ученых. Наиболее полное представление о проблемах теории многозначных функций алгебры логики можно получить из работ Поста, С.Яблонского, Г. Гаврилова, А. Кузнецова и др.

      При анализе и синтезе многоуровневых схем применяется многозначная логика. В литературе [4] дано общее определение функций многозначной алгебры логики, а также определения многозначных автоматов, входные и выходные сигналы которых квантуются по многим уровням. Там же сказано [4, стр. 310], что несмотря на широкое использование таких автоматов в различных системах телемеханики, связи, автоматики и вычислительной техники, - логический аппарат, используемый при синтезе и анализе подобных устройств, находится еще в стадии становления. Это связано с рядом трудностей теоретического и практического порядка, возникающих при попытке построения и использовании многозначного аналога булевой алгебры.

      В литературе [4] были введены некоторые из важных многозначных логических функций для произвольного количества значений истинности логики, а так же при количестве значений истинности, равном трем. Необходимо подчеркнуть, что двухзначная и трехзначная логики являются частными случаями многозначной логики при соответствующем числе значений истинности.

      Рассмотрим основные трехзначные логические функции, применяемые при синтезе и анализе трехуровневых устройств:

      1.Константы, т.е. функции, для которых все аргументы являются фиктивными. В трехзначной логике имеется три константных функции f ₀ = 0, f ₁ = 1, f ₂ = 2. Отметим, что “0” здесь соответствует  значению истинности “ложь”, “1” – значению “неопределенно, неизвестно”, “2” – значению “истина”.

      2.Наиболее важными функциями одной переменной являются характеристические функции, число которых равно числу значений истинности логики, в данном случае – трем. Характеристическая функция , называемая характеристической функцией i-го порядка, определяется следующим образом:

                                                       (1)

Таблица 1. Характеристические функции.

      3.Обобщенная характеристическая функция e _ij, задаваемая следующим образом:

                     (2)

Таблица 2. Обобщенные характеристические функции.

      4.Важной является функция инверсии, служащая обобщением функции отрицания:

                                 (3)

Таблица 3. Функция инверсии.

      5.Функция циклического отрицания:

                                  (4)

Таблица 4. Функция циклического отрицания.

      6.Среди функций двух переменных особо важную роль играют функции трехзначной дизъюнкции и трехзначной конъюнкции. Эти функции определяются на основании соотношений:                          

a Ú b = max (a, b);                        (5)

a & b = a Ù b = min (a, b).                   (6)

Таблица 5. Трехзначные дизъюнкция и конъюнкция.

      7.Важными функциями трехзначной логики являются функция сложения по модулю три  a + b (mod 3) = a Å b и функция умножения по модулю три  a * b (mod 3) = a Ä b без учета переносов. Кроме того, представляет особый интерес трехзначная функция Вебба, которая определяется с помощью следующего соотношения:

a | b = max (a, b) + 1(mod 3) = (a Ú  b) Å 1          (7)

Таблица 6. Функции сложения и умножения по mod 3 и функция Вебба.

С помощью перечисленных выше функций можно представить любые трехзначные функции алгебры логики. Для представления функций в многозначной логике и для синтеза схем ограничиваются рассмотрением только таких базисов и полных систем, которые оказались удобными для этой цели.

Важнейшие и наиболее интересные с точки зрения практики системы такого типа следующие:

      1) Система Поста. Постом было показано, что в любой многозначной логике полна система, состоящая из дизъюнкции и цикла, т. е. любую троичную функцию можно выразить  через дизъюнкцию и циклическое отрицание.

      2) Система Россера и Тьюкетта. Полную систему функций в многозначной логике составляют характеристические функции, функции конъюнкции, дизъюнкции, функции константы.

      3) Система Вебба. Полную систему составляет для любой многозначной логики функция Вебба.

      4) Модульная логика (или модулярная). Если k – простое число, то функции сложения по модулю k и умножения по модулю k образуют в k-значной логике полную систему. 

      Кроме того, любая функция  многозначной логики может быть представлена в форме дизъюнкций характеристических конъюнкций, которая называется многозначной дизъюнктивной совершенной нормальной формой (МДСНФ), и в форме конъюнкций характеристических дизъюнкций , которая называется многозначной конъюнктивной совершенной нормальной формой (МКСНФ).

      Функции конъюнкции и дизъюнкции в многозначной логике имеют свойства, аналогичные свойствам двузначных функций конъюнкции и дизъюнкции. В частности, с помощью инверсии они связаны между собой известными формулами де Моргана.

      В полных системах Поста, Вебба, и модульной системе аналитическое выражение функций трехзначной логики получается довольно громоздким и менее прозрачным, чем в системе Россера, Тьюкетта или при представлении функции в виде ТДСНФ или ТКСНФ.